Ich möchte noch kurz rückmelden, wie die Sache (vorerst) ausgegangen ist.
Zum Fernseher (LG 49UM71007) habe ich mir zunächst ein geeignet erscheinendes Bluetooth-Headset (JBL Tune 110BT) bestellt.
Beim ersten Test war der Ton deutlich hörbar verzögert. Nach einer gewissen Zeit war er dann nahezu synchron - so als hätte sich die Synchronität automatisch einjustiert. Zwei Tage später gab es dann wieder Phasen mit deutlicher Asynchronität, danach passte es wieder. Also die Synchronität funktioniert insgesamt "befriedigend", aber nicht wirklich zuverlässig. In den Menüeinstellungen des Fernsehers gibt es einen Punkt "AV-Synchronität" - aber ausgerechnet für den BT-Kopfhörer ist er ausgegraut, also nicht nutzbar.
Leider erwies sich das von mir gewählte Headset-Modell auch sonst als nicht ideal: Die Reichweite ist sehr schwankend; teilweise kommt es schon in 2 1/2 Meter Abstand vom Fernseher zu Störungen. Bei anderer Gelegenheit kann ich sogar noch aus dem Nebenraum was hören. Ich vermute, dass sich die Sende-/Empfangsleistung irgendwie automatisch regelt (aber nicht wirklich gut). Ob es am Fernseher liegt oder am Headset, kann ich mangels weiterer BT-Headsets/Kopfhörer noch nicht sagen.
Was mir auch nicht so gut gefällt, sind die eng sitzenden Ohrstöpsel, die das Ohr regelrecht abdichten. Man kriegt da so einen Effekt als ob man stark erkältet ist und sich selber besonders laut hört. Das mag für die Benutzung draußen, wo man Umweltgeräusche abschirmen will, gedacht sein. Aber hier im Wohnzimmer und ggfs. für stundenlange Nutzung ist es ein Nachteil.
Also dachte ich zunächst daran, einen weiteren/anderen BT-Kopfhörer zu besorgen. Auf Dauer würde ich eh ein zweites Exemplar brauchen, falls das Erste mal nicht ausreichend aufgeladen ist.
Allerdings habe ich dann fürs Erste eine pragmatischere und preiswertere Lösung gefunden, und zwar in Form eines DA-Wandlers, der aus dem optischen Ausgang des Fernsehers ein Kopfhörersignal macht: 
https://www.ebay.de/itm/362676406551
Da ich ohnehin vor längerer Zeit ein Kopfhörer-Flachbandkabel vom Fernseher zum Sofa gelegt hatte (hab den Teppich sogar aufgeschlitzt, um es durchzuziehen), bringt diese Lösung wenig zusätzlichen Aufwand für mich.
Zunächst war der Ton aus dem Wandler nicht ganz synchron (kam etwas früher als das Bild). Aber anders als beim BT-Kopfhörer ist für den optischen Ausgang die AV-Synchronitätseinstellung des Fernsehers nutzbar; so konnte ich den Ton ein bisschen verzögern und habe jetzt mehr oder weniger perfekte Synchronität.
Gegenüber meinem früheren Fernseher hat die neue Lösung den Vorteil, dass ich jederzeit mit der Fernbedienung die Ausgänge umschalten kann. Ich muss also nicht mehr zum Fernseher gehen und den Kopfhörerstecker reinstecken/rausziehen.
Die Stromversorgung für den Wandler beziehe ich übrigens nicht aus dem mitgeliefeten Netzteil, sondern aus einer der USB-Buchsen des Fernsehers. Dadurch muss ich den Wandler auch nicht manuell ausschalten.
Wenn ich irgendwann doch mal einen drahtlosen Kopfhörer möchte, würde ich vermutlich nicht mehr Bluetooth benutzen, sondern eher am optischen Ausgang einen geeigneten Sender anschließen.